Własności operatorów Toeplitza na przestrzeni wszystkich funkcji holomorficznych

Początki zarówno analizy funkcjonalnej, jak i teorii operatorów związane są z badaniami wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha (1892-1945), w szczególności z napisaną przez niego książką "Teorja Operacyj. Tom I: Operacje liniowe" wydanej w Warszawie w 1931 roku. Tam pojawiają się obiekty, które dzisiaj nazywa się operatorami liniowymi. Własność liniowości formułuje się prosto, w zasadzie tak samo jak w przypadku funkcji liniowych, omawianych w szkole podstawowej. Operatory muszą być jeszcze ciągłe, co oznacza, że bliskie argumenty odwzorowywane są na bliskie wartości. Projekt dotyczy szczególnej klasy operatorów liniowych, zwanych operatorami Toeplitza. Charakteryzuje je pewna nieskończona macierz liczb, inaczej nieskończona tablica, o tej własności, że wyrazy na przekątnych są takie same. W ogólności nie jest łatwo opisać własności operatorów, są to obiekty dosyć skomplikowane. W przypadku operatorów Toeplitza jest to łatwiejsze ze względu na głębokie związki tych operatorów z takimi prostymi obiektami matematyki jak funkcje. Co prawda, nie dowolne funkcje, ale funkcje zwane holomorficznymi. Są to jedne z najpiękniejszych i najbardziej regularnych obiektów matematyki. Teoria operatorów Toeplitza jest niesamowitym przykładem, jak różne działy matematyki, pozornie odległe, okazują się mieć ze sobą głębokie związki. W tym przypadku jest to analiza zespolona, badająca właśnie funkcje holomorficzne i teoria operatorów. Jest ciekawostką, że operatory Toeplitza, nazwane tak na cześć świetnego niemieckiego matematyka Otto Toeplitza (1881-1940), wcale nie pojawiają się po raz pierwszy w jego książce "Zur Theorie der quadratischen and bilinearen Formen von unendlichen Verandlichen, part I: Theorie des L-Formen" [Toeplitz 1911]. Zdefiniowano jest później, ale od tego czasu znajdują się w centrum badań analizy matematycznej.